If both 11² and 3³ are factors of the number a * 4³ * 6² * 13¹¹ , then what is the smallest possible value of 'a'?

৭, ১১, ১৩ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility Rules of 7, 11, 13)

৭, ১১ ও ১৩ দ্বারা বিভাজ্যতা নির্ণয়ের জন্য কিছু বিশেষ কৌশল ব্যবহার করা হয়। এই নিয়মগুলো সাধারণ যোগ বা শেষ অঙ্কের উপর নির্ভর করে না, বরং ধাপে ধাপে সংখ্যা পরিবর্তন করে পরীক্ষা করা হয়।

৭ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 7)

নিয়ম: শেষ অঙ্ককে 2 দ্বারা গুণ করে বাকি সংখ্যার সাথে বিয়োগ করলে যদি ফলাফল 7 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাও 7 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 203

শেষ অঙ্ক = 3
বাকি সংখ্যা = 20
3 × 2 = 6
20 − 6 = 14

14 ÷ 7 = 2 ⇒ বিভাজ্য

অর্থাৎ 203 সংখ্যা 7 দ্বারা বিভাজ্য।

১১ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 11)

নিয়ম: বিজোড় স্থানের অঙ্কের যোগফল এবং জোড় স্থানের অঙ্কের যোগফলের পার্থক্য যদি 0 বা 11 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যা 11 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 121

বিজোড় স্থান: 1 + 1 = 2
জোড় স্থান: 2
পার্থক্য: 2 − 2 = 0

অতএব, 121 সংখ্যা 11 দ্বারা বিভাজ্য।

আরেকটি উদাহরণ: 2728

বিজোড় স্থান: 2 + 2 = 4
জোড় স্থান: 7 + 8 = 15
পার্থক্য: 15 − 4 = 11

11 দ্বারা বিভাজ্য ⇒ সংখ্যা বিভাজ্য

১৩ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 13)

নিয়ম: শেষ অঙ্ককে 4 দ্বারা গুণ করে বাকি সংখ্যার সাথে যোগ করলে যদি ফলাফল 13 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাও 13 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 286

শেষ অঙ্ক = 6
বাকি সংখ্যা = 28
6 × 4 = 24
28 + 24 = 52

52 ÷ 13 = 4 ⇒ বিভাজ্য

অর্থাৎ 286 সংখ্যা 13 দ্বারা বিভাজ্য।

তুলনামূলক সারাংশ

• 7 → শেষ অঙ্ক ×2 বিয়োগ নিয়ম
• 11 → odd-even position difference
• 13 → শেষ অঙ্ক ×4 যোগ নিয়ম

মনে রাখার কৌশল

• 7 → subtract method
• 11 → alternating sum
• 13 → multiply last digit by 4